Définition

La notion de quasilinéarité provient des mathématiques appliquées et de la microéconomie, où elle désigne une relation presque linéaire entre deux variables. Ainsi, dans un contexte strictement linéaire, une variation d’une variable entraîne une variation parfaitement proportionnelle de l’autre. En revanche, dans une relation quasi linéaire, cette proportionnalité demeure, mais elle est accompagnée d’un terme résiduel, c’est-à-dire une petite déviation systématique qui empêche la relation d’être parfaitement linéaire. Ce terme résiduel représente l’ensemble des effets secondaires, perturbations ou propriétés structurelles qui font légèrement varier l’une des variables sans remettre en cause la tendance générale, qui reste proche d’une droite.

Application à la chaîne de blocs

Cette idée trouve une application directe dans l’analyse des protocoles de chaîne de blocs, notamment au sein d’Ethereum où certaines relations internes du système ne sont pas strictement linéaires, mais leur comportement s’en rapproche suffisamment pour être modélisé comme tel. La quasilinéarité permet ainsi de décrire des situations où une augmentation d’un paramètre du protocole entraîne une augmentation presque proportionnelle d’un autre, tout en intégrant les légères irrégularités imposées par les règles cryptographiques ou la structure interne du réseau.

Sur Ethereum, un exemple représentatif concerne la relation entre le nombre d’opérations exécutées dans un bloc et la quantité totale de gas consommée. En théorie, chaque opération possède un coût fixe, ce qui implique une relation parfaitement linéaire. En pratique, cette relation n’est que quasi linéaire puisque les coûts réels varient légèrement selon plusieurs paramètres du réseau comme la structure interne du trie (l’arbre de données utilisé par Ethereum pour stocker et organiser son état), la taille du calldata ou les ajustements introduits par certaines EIP. Chaque opération conserve son coût nominal, mais ces effets secondaires introduisent un terme résiduelqui dévie faiblement la courbe d’une droite parfaite. Le résultat empirique est matérialiser par une ligne de quasilinéarité, c’est-à-dire une ligne sur un graphique présentant une relation presque linéaire mais légèrement ondulée.

Relations quasi linéaires au sein d’Ethereum

Quasilinear Growth

La notion de quasilinear growth désigne une croissance presque proportionnelle d’une structure du protocole en fonction d’une variable d’entrée. Dans un réseau comme Ethereum, cela peut se manifester lorsque l’état global ou certaines structures de données internes augmentent de manière quasi linéaire avec le nombre de comptes, de contrats ou de mises à jour. La croissance suit une tendance proche d’une droite, mais avec de légères déviations dues aux propriétés internes du stockage ou de la gestion de l’état du protocole.

Quasilinear Cost

Le terme quasilinear cost renvoie à un coût computationnel ou économique qui augmente presque proportionnellement à la quantité d’opérations effectuées. Sur Ethereum, la consommation totale de gas dans un bloc illustre souvent ce phénomène : elle croît de manière quasi linéaire avec le nombre d’opérations exécutées, même si des facteurs techniques, accès chaud ou froid au stockage, taille du calldata ou règles spécifiques du protocole, introduisent de petites variations qui s’écartent d’une linéarité parfaite.

Quasilinear Behavior

La notion de quasilinear behavior s’applique aux comportements globaux d’une variable ou d’un mécanisme du protocole dont la dynamique générale suit une tendance presque linéaire. Cela peut inclure, par exemple, la manière dont certains paramètres du réseau réagissent à l’activité, à la charge ou aux ajustements de l’état, avec une évolution globalement proportionnelle mais légèrement perturbée par les propriétés structurelles ou cryptographiques du système.

Conclusion

Nous avons donc vu ici que la quasilinéarité désigne une relation presque linéaire entre deux variables, telle qu’employée en mathématiques appliquées et en microéconomie. Dans un contexte strictement linéaire, une variation d’une variable entraîne une variation parfaitement proportionnelle de l’autre. Dans une relation quasi linéaire, cette proportionnalité persiste, mais elle est accompagnée d’un terme résiduel qui se traduit par une petite déviation systématique qui empêche la relation d’être parfaitement linéaire. Ce terme résiduel regroupe les effets secondaires, perturbations ou contraintes structurelles qui modifient légèrement l’une des variables sans remettre en cause la tendance générale, laquelle demeure proche d’un comportement linéaire.